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Das Prinzip vom Argument ist ein Satz aus der Funktionentheorie, der die mit Vielfachheiten gezählten Polstellen und w {\displaystyle w} -Stellen einer meromorphen Funktion durch ein Integral ausdrückt.

• Aussage

• Bemerkungen

• Einzelnachweise

Sei Ω Ω ⊆ ⊆ C {\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} } offen und zusammenhängend. Sei f : : Ω Ω → → C ¯ ¯ {\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow {\overline {\mathbb {C} }}} eine meromorphe Funktion, sodass f ≠ ≠ 0 {\displaystyle f\neq 0} . Sei w ∈ ∈ C {\displaystyle w\in \mathbb {C} } , N = { z ∈ ∈ Ω Ω ∣ ∣ f ( z ) = w } {\displaystyle N=\{z\in \Omega \mid f(z)=w\}} die Menge der w {\displaystyle w} -Stellen und P = { z ∈ ∈ Ω Ω ∣ ∣ f ( z ) = ∞ ∞ } {\displaystyle P=\{z\in \Omega \mid f(z)=\infty \}} die Menge der Polstellen von f {\displaystyle f} . Seien n ∈ ∈ N N {\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{N}} und m ∈ ∈ N P {\displaystyle m\in \mathbb {N} ^{P}} die jeweiligen Vielfachheiten. Sei γ γ {\displaystyle \gamma } ein in Ω Ω {\displaystyle \Omega } gelegener nullhomologer Zyklus, sodass ∀ ∀ z ∈ ∈ N ∪ ∪ P : z ∉ ∉ B i l d ( γ γ ) {\displaystyle \forall z\in N\cup P:z\notin \mathrm {Bild} (\gamma )} gilt. Dann folgt

1 2 π π i ∫ ∫ γ γ f ′ ( z ) f ( z ) − − w d z = ∑ ∑ z ∈ ∈ N ind γ γ ⁡ ⁡ ( z ) n ( z ) − − ∑ ∑ z ∈ ∈ P ind γ γ ⁡ ⁡ ( z ) m ( z ) {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)-w}}\mathrm {d} z=\sum _{z\in N}{\operatorname {ind} _{\gamma }(z)n(z)}-\sum _{z\in P}{\operatorname {ind} _{\gamma }(z)m(z)}} ,

wobei ind γ γ ⁡ ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {ind} _{\gamma }(z)} die Umlaufzahl des Zyklus γ γ {\displaystyle \gamma } um z {\displaystyle z} bezeichnet.cite-ref-1[1]cite-ref-2[2]

Das Prinzip vom Argument ist eine einfache Folge aus dem Residuensatz. Als Anwendung lässt sich beispielsweise der Satz von Rouché herleiten.

cite-note-11. ↑ Dietmar A. Salamon: Funktionentheorie, Springer, Basel 2012, ISBN 9783034801683, Kap 4.5: Das Prinzip vom Argument.

cite-note-22. ↑ Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg-Verlag 1980, ISBN 3-528-07247-4, Kapitel IV Isolierte Singularitäten, Satz 7.1